@leocg Maybe, I‘ve found out, what triggered it. I logged in via the code that was sent by mail, first. In this case, I was logged out after restart.
But the next time I logged in I chose to do this with my password. And then, fingers crossed, I was being remembered.

@tiobb Sehr gerne: Ich versuche es mal.

Schritt 1:

Öffne die Seitenleiste unten an den drei Punkten (die habe ich jetzt nicht markiert, aber du müsstest sie sehen!)
Dann gehst du zum Menüpunkt "Lesezeichen" und änderst "im Bereich öffnen" zu "Ganze Seite öffnen". Das macht es deutlich einfacher!

Schritt 2:

Dann öffnest dann die Lesezeichen, indem du auf das drückst. Unter "Andere Schnellwahleinträge" findest du das alte Gerät (und vielleicht noch mehr).
Du öffnest die Schnellwahlen dieses Geräts, markierst sie alle und schneidest sie aus (wenn du das Gerät nicht mehr nutzt) oder kopierst sie (falls du es weiter benutzt).

Schritt 3:

Du klickst auf "Schnellwahl". Dann löschst du alle von Opera vorinstallierten Schnellwahleinträge und anschließend fügst du die ausgeschnittenen oder kopierten Schnellwahleinträge ein. (also "copy7cut and paste").
Falls du das alte Gerät nicht mehr nutzt, kannst du zusätzlich noch unter "Andere Schnellwahleinträge" einen Rechtsklick auf das Gerät machen und im Menü "das Gerät entfernen" drücken.

Ich hoffe, das hilft dir!

@Opera-Comments-Bot Thank you very much for the fix and the information about it. Very much appreciated.

I don't know if Opera or Spotify are giving me this issue: But whenever I start Opera anew, I'm not logged into Spotify still. And it doesn't make any difference, if I am going to sidebar or to the webpage.
My version is: Opera One(Version: 119.0.5497.70)

I'm blocking third-party-cookies and I am using secure DNS over Cloudfare. Ad- and tracker blocking in Opera is also enabled.

Can anybody help?

@tiobb Ja, tatsächlich. Die Schnellwahlen einer vorherigen oder anderen Installation müssen aus dem entsprechenden Ordner kopiert und in die Schnellwahl der aktuellen Version eingefügt werden.
Synchronisation in Opera heißt - für manche leider- nicht die Spiegelung auf allen Geräten, sondern die Fähigkeit, auf die Lesezeichen der anderen Geräte zugreifen zu können.
Verlauf und Einstellungen werden allerdings großenteils tatsächlich synchronisiert.